Valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de Edgeworth
Titulo:

Valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de Edgeworth
.

Sumario:

El modelo de Black-Scholes es el método universal para la valoración de op­ciones financieras. Sin embargo, este modelo presenta varias deficiencias que hacen que, al contrastar sus resultados con los precios de mercado observados, se evidencie la necesidad de ajustar los métodos de valoración con supuestos menos simplificadores que permitan incluir aspectos observables en la realidad, que favorezcan la derivación del modelo. Este modelo es un estándar a nivel de las finanzas puesto que es el marco de valoración que se ha trabajado desde hace varias décadas. Sin embargo, en la mayoría de los mercados, por lo general, la distribución de probabilidad de los retornos de los activos objeto de valoración presenta sesgos y asimetría. No obstante,... Ver más

Guardado en:

Revista ODEON

1794-1113

2346-2140

Acosta-Rueda, Katty Johanna

UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA

10.18601/17941113.n19.05

2021-06-08

99

152

Colombia

expansión de Edgeworth;

distribución de normalidad;

asimetría;

curtosis;

rendimientos

Katty Johanna Acosta-Rueda - 2021

Esta obra está bajo una licencia internacional Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0.

info:eu-repo/semantics/openAccess

http://purl.org/coar/access_right/c_abf2

id metarevistapublica_uexternado_revistaodeon_39_article_7233
record_format ojs
spelling Valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de Edgeworth
Valuation of Call financial options in a context of non-normality: Under the Edgeworth Approach
El modelo de Black-Scholes es el método universal para la valoración de op­ciones financieras. Sin embargo, este modelo presenta varias deficiencias que hacen que, al contrastar sus resultados con los precios de mercado observados, se evidencie la necesidad de ajustar los métodos de valoración con supuestos menos simplificadores que permitan incluir aspectos observables en la realidad, que favorezcan la derivación del modelo. Este modelo es un estándar a nivel de las finanzas puesto que es el marco de valoración que se ha trabajado desde hace varias décadas. Sin embargo, en la mayoría de los mercados, por lo general, la distribución de probabilidad de los retornos de los activos objeto de valoración presenta sesgos y asimetría. No obstante, en los modelos clásicos, dados los supuestos restrictivos y simplifica­dores, solo se tienen en cuenta los momentos estadísticos de primer y segundo orden (media y varianza, respectivamente). Por tanto, si los momentos de orden superior no son considerados, la estimación del valor teórico de una opción sería incompleta. Por lo anterior, a través de una aproximación de tipo binomial, se propon­drá una metodología que permitirá incorporar momentos estadísticos de orden superior (asimetría y curtosis) para proyectar eventuales escenarios futuros en donde el proceso estocástico del subyacente incorpore la incertidumbre, volati­lidad y flexibilidad presentes. Esta aproximación es conocida como expansión de Edgeworth, a partir de la cual se obtiene una distribución de probabilidad que incorpora los momentos estadísticos de orden superior.
The Black-Scholes model is the universal method for valuing financial options. However, this model has several deficiencies that, when contrasting its results with the observed market prices, it is evident the need to adjust the valuation methods with less simplifying assumptions that allow us to include observable aspects in reality that favor the derivation of the model. This model is a standard at the financial level since it is the valuation framework that has been used for several decades. However, in most markets, in general, the probability distribution of the returns of the assets being valued is biases and asymmetry. However, in the classic models given the restrictive and simplifying assumptions, only the first and second order statistical moments (mean and variance) are taken into account. Therefore, if higher order moments are not considered, the estimation of the theoretical value of an option would be incomplete. To this end, a methodology that will allow incorporating higher order sta­tistical moments (asymmetry and kurtosis) to project eventual future scenarios where the stochastic process of the underlying incorporates the present uncer­tainty, volatility and flexibility will be proposed through a binomial approach. This approximation is known as Edgeworth expansion, from which a probability distribution is obtained that incorporates higher order statistical moments.
Acosta-Rueda, Katty Johanna
Edgeworth expansion;
normality distribution;
asymmetry;
kurtosis,
yields.
expansión de Edgeworth;
distribución de normalidad;
asimetría;
curtosis;
rendimientos
19
Núm. 19 , Año 2020 : Julio-Diciembre
Artículo de revista
Journal article
2021-06-08T14:39:06Z
2021-06-08T14:39:06Z
2021-06-08
application/pdf
text/html
Universidad Externado de Colombia
ODEON
1794-1113
2346-2140
https://revistas.uexternado.edu.co/index.php/odeon/article/view/7233
10.18601/17941113.n19.05
https://doi.org/10.18601/17941113.n19.05
spa
http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
Katty Johanna Acosta-Rueda - 2021
Esta obra está bajo una licencia internacional Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0.
99
152
Abdalla, I. y Murinde, V. (1997). Exchange rate and stock price interactions in emer¬ging financial markets: Evidence on India, Korea, Pakistan and the Philippines. Applied Financial Economics, 7, 25-35.
Ahmed (2006). Mir’s Trinomial Expansion Theorem Based on Exponent Array Model. http://mathonline.wikidot.com/the-trinomial-theorem.
Akita, T., Jin, J. y Wakaki, H. (2010). High-dimensional Edgeworth expansion of a test statistic on independence and its error bound. Journal of Multivariate Analysis, 101(8), 1806-1813. https://doi.org/10.1016/j.jmva.2010.03.014
Arnica, G. (1993). Reflexiones sobre la validez del modelo de Black-Scholes. Revista Española de Financiación y Contabilidad, 22(77), 919-936. http://www.jstor. org/stable/42781016
Baliero Filho, R. y Rosenfeld, R. (2004). Testing option pricing with Edgeworth expan-sion. Physica A: Statistical Mechanis an its Application, 344, 484-490.
Basna, R. (2010). Edgeworth Expansion and Saddle Point Approximation for Discrete Data with Application to Chance Games. Digitala Vetenskapliga Arkivet.
Black, F. y Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81(3).
Bock, A. (2014). Edgeworth Expansions for Binomial Trees. University of Kaiserslau¬tern, Department of Mathematics.
Brenn, T., Stian, I. y Anfinsen, N. (2017). A revisit of the Gram-Charlier and Edgeworth series expansions. University of Norway, Department of Physics and Technology, 1-12. https://munin.uit.no/bitstream/handle/10037/11261/article.pdf?sequence=1.
BVC (s. f.). Mercado de renta variable. https://www.bvc.com.co/pps/tibco/portalbvc/ Home/Mercados/enlinea/acciones
Cañada, A. (2015). Series de Taylor y Series de Fourier: un estudio comparativo. Universidad de Granada.
Chance, D. M. (2007). A Synthesis of binomial option pricing models for lognormally distributed assets. Louisiana State University. https://doi.org/10.2139/ssrn.969834.
Cox, J., Ross, S. y Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach. Journal of Financial Economics, 7(3), 229-263.
Dávalos, P. G. (2012). Análisis de Fourier y sus aplicaciones en el estudio de señales analógicas. Universidad Nacional del Sur
Del Brio, E., Ñíguez, T. y Perote, J. (2008). Multivariate Gram-Charlier Densities. mpra Paper No. 29073 (46733), 6-25.
Drimus, G., Farkas, W., Necula, C. y Sokko, A. (2013). Closed form option pricing under generalized hermite expansions. sciex-nms Fellowship, 1-15. https://doi. org/10.2139/ssrn.2349868.
Ferrari, C. y González, A. (2007). Fundamentales empresariales y económicos en la valoración de acciones: el caso de la bolsa colombiana. Cuadernos de Admi¬nistración, 20(33).
Ferreira, C. A. (2015). Valuación de empresas y proyectos de base tecnológica [Tesis Doctoral]. Universidad Nacional del Sur.
Filho, R. G. B. y Rosenfeld, R. (2004). Testing option pricing with the Edgeworth expansion. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 344(3-4 spec. iss.), 484-490. https://doi.org/10.1016/j.physa.2004.06.018.
Hunter, D. R. (2014). Notes for a graduate-level course in asymptotics for statisticians. http://personal.psu.edu/drh20/asymp/lectures/asymp.pdf.
Jarrow, R. y Rudd, A. (1982). Approximate option valuation for arbitrary stochastic processes. Journal of Financial Economics, 10, 347-369.
Kao, E. P. C. y Xie, W. (2017). Pricing spread options by generalized bivariate edgeworth expansion. International Journal of Financial Engineering, 04(02n03), 1750017. https://doi.org/10.1142/s2424786317500177.
Madaula, O. (2016). Superficie de volatilidad e interpolación de opciones del Ibex no cotizadas (trabajo final de máster). Facultad de Economía y Finanzas, Universitat de Barcelona.
Milanesi, G. (2011). Rejillas binomiales implícitas, asimetría y curtosis en la valuación de opciones reales y financieras. xxxi Jornadas Nacionales de Administración Financiera. Docentes de Administración Financiera. Universidad Nacional del Sur.
Milanesi, G. (2012). Árboles binomiales implícitos (ibt) y la valuación opciones fi¬nancieras. Un caso de aplicación. Universidad Nacional del Sur, Departamento de Ciencias de la Administración.
Milanesi, G. (2013). Asimetría y curtosis en el modelo binomial para valorar opciones reales: caso de aplicación para empresas de base tecnológica. Estudios Geren¬ciales Universidad icesi Colombia, 29(128), 368-378. https://doi.org/10.1016/j. estger.2013.09.011.
Milanesi, G. (2014). Momentos estocásticos de orden superior y la estimación de la volatilidad implícita: aplicación de la expansión de Edgeworth en el modelo Black-Scholes. Estudios Gerenciales, 30(133), 336-342. https://doi.org/10.1016/j. estger.2014.01.021.
Milanesi, G. y El Alabi, E. (2018). A Binomial Model with Edgeworth Expansion on Particular Circumstances. European Accounting and Management Review, 5(1), 69-93. https://doi.org/10.26595/eamr.2014.5.1.4.
Podolskij, M. y Yoshida, N. (2018). Edgeworth expansion for functionals of continuous diffusion processes. Annals of Applied Probability, 26(6), 3415-3455. https://doi. org/10.1214/16-AAP1179.
Qumsiyeh, M. (1990). Edgeworth expansion in regression models. Indiana University and Bethlehem University, 101, 86-101.
Ramírez, J. y Chacón, O. (2014). El supuesto de normalidad estacionaria y los Black Swans en finanzas. Sotavento M.B.A. 24 (dic. 2014), 24-43.
Rodríguez, A. C. N. (2014). Aproximaciones uniformes para distribuciones de probabi¬lidad de sumas de variables aleatorias positivas con colas pesadas. Universidad Autonoma de Madrid Escuela Politécnica Superior.
Rubinstein, M. (1998). Edgeworth binomial trees. Journal of Derivatives, 14, 20-27.
Rydberg, T. (2000). Realistic Statistical Modeling of Financial Data. International Statistical Review, 68 (3), 233-258.
Serbachi (s. f.). Serie de Taylor y Maclaurin. https://fisicauv.jimdofree.com/app/down-load/8922881368/Serie+de+Taylor.pdf?t=1505700219.
Simonato, J. G. (2009). Johnson binomial trees. Quantitative Finance, 11(8), 1165-1176. https://doi.org/10.1080/14697680902950821.
Taboga, M. (2020). Characteristic function. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/characteristic-function
https://revistas.uexternado.edu.co/index.php/odeon/article/download/7233/10370
https://revistas.uexternado.edu.co/index.php/odeon/article/download/7233/10371
info:eu-repo/semantics/article
http://purl.org/coar/resource_type/c_6501
http://purl.org/redcol/resource_type/ARTREF
info:eu-repo/semantics/publishedVersion
http://purl.org/coar/version/c_970fb48d4fbd8a85
info:eu-repo/semantics/openAccess
http://purl.org/coar/access_right/c_abf2
Text
Publication
institution UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA
thumbnail https://nuevo.metarevistas.org/UNIVERSIDADEXTERNADODECOLOMBIA/logo.png
country_str Colombia
collection Revista ODEON
title Valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de Edgeworth
spellingShingle Valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de Edgeworth
Acosta-Rueda, Katty Johanna
Edgeworth expansion;
normality distribution;
asymmetry;
kurtosis,
yields.
expansión de Edgeworth;
distribución de normalidad;
asimetría;
curtosis;
rendimientos
title_short Valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de Edgeworth
title_full Valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de Edgeworth
title_fullStr Valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de Edgeworth
title_full_unstemmed Valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de Edgeworth
title_sort valoración de opciones financieras call en contexto de no normalidad, bajo la aproximación de edgeworth
title_eng Valuation of Call financial options in a context of non-normality: Under the Edgeworth Approach
description El modelo de Black-Scholes es el método universal para la valoración de op­ciones financieras. Sin embargo, este modelo presenta varias deficiencias que hacen que, al contrastar sus resultados con los precios de mercado observados, se evidencie la necesidad de ajustar los métodos de valoración con supuestos menos simplificadores que permitan incluir aspectos observables en la realidad, que favorezcan la derivación del modelo. Este modelo es un estándar a nivel de las finanzas puesto que es el marco de valoración que se ha trabajado desde hace varias décadas. Sin embargo, en la mayoría de los mercados, por lo general, la distribución de probabilidad de los retornos de los activos objeto de valoración presenta sesgos y asimetría. No obstante, en los modelos clásicos, dados los supuestos restrictivos y simplifica­dores, solo se tienen en cuenta los momentos estadísticos de primer y segundo orden (media y varianza, respectivamente). Por tanto, si los momentos de orden superior no son considerados, la estimación del valor teórico de una opción sería incompleta. Por lo anterior, a través de una aproximación de tipo binomial, se propon­drá una metodología que permitirá incorporar momentos estadísticos de orden superior (asimetría y curtosis) para proyectar eventuales escenarios futuros en donde el proceso estocástico del subyacente incorpore la incertidumbre, volati­lidad y flexibilidad presentes. Esta aproximación es conocida como expansión de Edgeworth, a partir de la cual se obtiene una distribución de probabilidad que incorpora los momentos estadísticos de orden superior.
description_eng The Black-Scholes model is the universal method for valuing financial options. However, this model has several deficiencies that, when contrasting its results with the observed market prices, it is evident the need to adjust the valuation methods with less simplifying assumptions that allow us to include observable aspects in reality that favor the derivation of the model. This model is a standard at the financial level since it is the valuation framework that has been used for several decades. However, in most markets, in general, the probability distribution of the returns of the assets being valued is biases and asymmetry. However, in the classic models given the restrictive and simplifying assumptions, only the first and second order statistical moments (mean and variance) are taken into account. Therefore, if higher order moments are not considered, the estimation of the theoretical value of an option would be incomplete. To this end, a methodology that will allow incorporating higher order sta­tistical moments (asymmetry and kurtosis) to project eventual future scenarios where the stochastic process of the underlying incorporates the present uncer­tainty, volatility and flexibility will be proposed through a binomial approach. This approximation is known as Edgeworth expansion, from which a probability distribution is obtained that incorporates higher order statistical moments.
author Acosta-Rueda, Katty Johanna
author_facet Acosta-Rueda, Katty Johanna
topic Edgeworth expansion;
normality distribution;
asymmetry;
kurtosis,
yields.
expansión de Edgeworth;
distribución de normalidad;
asimetría;
curtosis;
rendimientos
topic_facet Edgeworth expansion;
normality distribution;
asymmetry;
kurtosis,
yields.
expansión de Edgeworth;
distribución de normalidad;
asimetría;
curtosis;
rendimientos
topicspa_str_mv expansión de Edgeworth;
distribución de normalidad;
asimetría;
curtosis;
rendimientos
citationissue 19
citationedition Núm. 19 , Año 2020 : Julio-Diciembre
publisher Universidad Externado de Colombia
ispartofjournal ODEON
source https://revistas.uexternado.edu.co/index.php/odeon/article/view/7233
language spa
format Article
rights http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0
Katty Johanna Acosta-Rueda - 2021
Esta obra está bajo una licencia internacional Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 4.0.
info:eu-repo/semantics/openAccess
http://purl.org/coar/access_right/c_abf2
references Abdalla, I. y Murinde, V. (1997). Exchange rate and stock price interactions in emer¬ging financial markets: Evidence on India, Korea, Pakistan and the Philippines. Applied Financial Economics, 7, 25-35.
Ahmed (2006). Mir’s Trinomial Expansion Theorem Based on Exponent Array Model. http://mathonline.wikidot.com/the-trinomial-theorem.
Akita, T., Jin, J. y Wakaki, H. (2010). High-dimensional Edgeworth expansion of a test statistic on independence and its error bound. Journal of Multivariate Analysis, 101(8), 1806-1813. https://doi.org/10.1016/j.jmva.2010.03.014
Arnica, G. (1993). Reflexiones sobre la validez del modelo de Black-Scholes. Revista Española de Financiación y Contabilidad, 22(77), 919-936. http://www.jstor. org/stable/42781016
Baliero Filho, R. y Rosenfeld, R. (2004). Testing option pricing with Edgeworth expan-sion. Physica A: Statistical Mechanis an its Application, 344, 484-490.
Basna, R. (2010). Edgeworth Expansion and Saddle Point Approximation for Discrete Data with Application to Chance Games. Digitala Vetenskapliga Arkivet.
Black, F. y Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81(3).
Bock, A. (2014). Edgeworth Expansions for Binomial Trees. University of Kaiserslau¬tern, Department of Mathematics.
Brenn, T., Stian, I. y Anfinsen, N. (2017). A revisit of the Gram-Charlier and Edgeworth series expansions. University of Norway, Department of Physics and Technology, 1-12. https://munin.uit.no/bitstream/handle/10037/11261/article.pdf?sequence=1.
BVC (s. f.). Mercado de renta variable. https://www.bvc.com.co/pps/tibco/portalbvc/ Home/Mercados/enlinea/acciones
Cañada, A. (2015). Series de Taylor y Series de Fourier: un estudio comparativo. Universidad de Granada.
Chance, D. M. (2007). A Synthesis of binomial option pricing models for lognormally distributed assets. Louisiana State University. https://doi.org/10.2139/ssrn.969834.
Cox, J., Ross, S. y Rubinstein, M. (1979). Option pricing: A simplified approach. Journal of Financial Economics, 7(3), 229-263.
Dávalos, P. G. (2012). Análisis de Fourier y sus aplicaciones en el estudio de señales analógicas. Universidad Nacional del Sur
Del Brio, E., Ñíguez, T. y Perote, J. (2008). Multivariate Gram-Charlier Densities. mpra Paper No. 29073 (46733), 6-25.
Drimus, G., Farkas, W., Necula, C. y Sokko, A. (2013). Closed form option pricing under generalized hermite expansions. sciex-nms Fellowship, 1-15. https://doi. org/10.2139/ssrn.2349868.
Ferrari, C. y González, A. (2007). Fundamentales empresariales y económicos en la valoración de acciones: el caso de la bolsa colombiana. Cuadernos de Admi¬nistración, 20(33).
Ferreira, C. A. (2015). Valuación de empresas y proyectos de base tecnológica [Tesis Doctoral]. Universidad Nacional del Sur.
Filho, R. G. B. y Rosenfeld, R. (2004). Testing option pricing with the Edgeworth expansion. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 344(3-4 spec. iss.), 484-490. https://doi.org/10.1016/j.physa.2004.06.018.
Hunter, D. R. (2014). Notes for a graduate-level course in asymptotics for statisticians. http://personal.psu.edu/drh20/asymp/lectures/asymp.pdf.
Jarrow, R. y Rudd, A. (1982). Approximate option valuation for arbitrary stochastic processes. Journal of Financial Economics, 10, 347-369.
Kao, E. P. C. y Xie, W. (2017). Pricing spread options by generalized bivariate edgeworth expansion. International Journal of Financial Engineering, 04(02n03), 1750017. https://doi.org/10.1142/s2424786317500177.
Madaula, O. (2016). Superficie de volatilidad e interpolación de opciones del Ibex no cotizadas (trabajo final de máster). Facultad de Economía y Finanzas, Universitat de Barcelona.
Milanesi, G. (2011). Rejillas binomiales implícitas, asimetría y curtosis en la valuación de opciones reales y financieras. xxxi Jornadas Nacionales de Administración Financiera. Docentes de Administración Financiera. Universidad Nacional del Sur.
Milanesi, G. (2012). Árboles binomiales implícitos (ibt) y la valuación opciones fi¬nancieras. Un caso de aplicación. Universidad Nacional del Sur, Departamento de Ciencias de la Administración.
Milanesi, G. (2013). Asimetría y curtosis en el modelo binomial para valorar opciones reales: caso de aplicación para empresas de base tecnológica. Estudios Geren¬ciales Universidad icesi Colombia, 29(128), 368-378. https://doi.org/10.1016/j. estger.2013.09.011.
Milanesi, G. (2014). Momentos estocásticos de orden superior y la estimación de la volatilidad implícita: aplicación de la expansión de Edgeworth en el modelo Black-Scholes. Estudios Gerenciales, 30(133), 336-342. https://doi.org/10.1016/j. estger.2014.01.021.
Milanesi, G. y El Alabi, E. (2018). A Binomial Model with Edgeworth Expansion on Particular Circumstances. European Accounting and Management Review, 5(1), 69-93. https://doi.org/10.26595/eamr.2014.5.1.4.
Podolskij, M. y Yoshida, N. (2018). Edgeworth expansion for functionals of continuous diffusion processes. Annals of Applied Probability, 26(6), 3415-3455. https://doi. org/10.1214/16-AAP1179.
Qumsiyeh, M. (1990). Edgeworth expansion in regression models. Indiana University and Bethlehem University, 101, 86-101.
Ramírez, J. y Chacón, O. (2014). El supuesto de normalidad estacionaria y los Black Swans en finanzas. Sotavento M.B.A. 24 (dic. 2014), 24-43.
Rodríguez, A. C. N. (2014). Aproximaciones uniformes para distribuciones de probabi¬lidad de sumas de variables aleatorias positivas con colas pesadas. Universidad Autonoma de Madrid Escuela Politécnica Superior.
Rubinstein, M. (1998). Edgeworth binomial trees. Journal of Derivatives, 14, 20-27.
Rydberg, T. (2000). Realistic Statistical Modeling of Financial Data. International Statistical Review, 68 (3), 233-258.
Serbachi (s. f.). Serie de Taylor y Maclaurin. https://fisicauv.jimdofree.com/app/down-load/8922881368/Serie+de+Taylor.pdf?t=1505700219.
Simonato, J. G. (2009). Johnson binomial trees. Quantitative Finance, 11(8), 1165-1176. https://doi.org/10.1080/14697680902950821.
Taboga, M. (2020). Characteristic function. https://www.statlect.com/fundamentals-of-probability/characteristic-function
type_driver info:eu-repo/semantics/article
type_coar http://purl.org/coar/resource_type/c_6501
type_version info:eu-repo/semantics/publishedVersion
type_coarversion http://purl.org/coar/version/c_970fb48d4fbd8a85
type_content Text
publishDate 2021-06-08
date_accessioned 2021-06-08T14:39:06Z
date_available 2021-06-08T14:39:06Z
url https://revistas.uexternado.edu.co/index.php/odeon/article/view/7233
url_doi https://doi.org/10.18601/17941113.n19.05
issn 1794-1113
eissn 2346-2140
doi 10.18601/17941113.n19.05
citationstartpage 99
citationendpage 152
url2_str_mv https://revistas.uexternado.edu.co/index.php/odeon/article/download/7233/10370
url3_str_mv https://revistas.uexternado.edu.co/index.php/odeon/article/download/7233/10371
_version_ 1811199264615825408

Código QR

Estadísticas y Métricas Alternativas

Títulos similares